פיתרון חידת העקיפה

בפוסט הקודם חידה על עקיפה הצגתי חידה. בפוסט זה אציג את פיתרון החידה. תכננתי לסמן גם את הפוסט הזה בצבע ירוק אבל במהלך הניתוח גיליתי שהפיתרון מורכב יותר ממה שחשבתי ולכן שיניתי את הסיווג.

עד שניתחתי את החידה חשבתי שסיכויי ההצלחה של עקיפה הם 50%. במהלך הניתוח גיליתי שהסיכויים נמוכים מ-50%. 
ההבדל הוא קטן כך שלצרכים מעשיים של שחקנים מהשורה אין הבדל מעשי. 

שחקנים ברמה גבוהה יותר צריכים להעדיף שימוש בטכניקה אחרת על פני עקיפה במקרה שהיא מבטיחה הצלחה בדיוק ב-50% מהמקרים.

תזכורת לחידה

מזרח-מערב הגיעו לחוזה של 3NT מצד מזרח עם התאמה של 8 קלפים ב-♦. הקלפים בסדרה זו מחולקים 4-4 בין יד הכרוז ויד הדומם. יש לנו מספיק כניסות ליד הכרוז במזרח בסדרות אחרות על מנת לבצע עקיפות.

ידוע שה-K♦ נמצא בדרום, כלומר: העקיפה מצליחה. 
השאלה היא האם יש הבדל במספר הלקיחות בין שתי התבניות הבאות?

תבנית 1

הכרוז במזרח:  8432♦

הדומם במערב: AQJT♦

תבנית 2  

הכרוז במזרח:  QJT8♦

הדומם במערב: A432♦

התשובה הנכונה

קוראים שאמרו שאין הבדל בין שתי התבניות טעו.

ראשית, לא בכל המקרים שבהם ה-K♦ נמצא בדרום זוכים ב-4 לקיחות בסדרה.

שנית, תבנית 1 עדיפה על תבנית 2 משום שיש מקרה בו בתבנית 1 זוכים בארבע לקיחות בעוד בתבנית 2 זוכים רק ב-3 לקיחות.

כמובן שלו לא היו לנו מספיק כניסות ליד הכרוז דווקא תבנית 2 הייתה עדיפה על תבנית 1.

קצת סטטיסטיקה לפני הפיתרון

אם תקראו את הערך הסתברויות בברידג', שכתבתי בויקיפדיה העברית, תגלו שכשלמגנים יש 5 קלפים בסדרה הם מתחלקים ביניהם באופן הבא:

3-2 בהסתברות של 68%
4-1 בהסתברות של 28%
5-0 בהסתברות של 4%.

בחלוקה השכיחה יותר של 3-2 הכרוז זוכה תמיד ב-4 לקיחות. אין הבדל בין שתי התבניות.   

בהקשר של השאלה בחידה כמעט ואין הבדל בין חלוקה של 4-1 לחלוקה של 5-0. 
חלוקה של 5-0 עשויה להביא לקיחה נוספת להגנה, אם תהיה כניסה לידו של השחקן המחזיק ב-5 קלפים בסדרה.

בפסקה הבאה אעסוק בפיתרון החידה. הפיתרון יתייחס רק למקרים בהם החלוקה של קלפי המגנים בסדרת ה-♦ היא 4-1.

פיתרון

בפיתרון אחפש מקרים בהם באחת התבניות או בשתיהן זוכה הכרוז רק ב-3 לקיחות בסדרה או עשוי לזכות ב-3 לקיחות בסדרה.

כשבדרום Kxxx♦ ובצפון 9♦

במצב כזה בשתי התבניות זוכים בארבע לקיחות.
אחרי שה-9♦ משוחק בפעם הראשונה מצפון בתבנית השנייה כל הקלפים ביד הכרוז הם גבוהים מכל קלפי ההגנה למעט ה-K♦. כל העקיפות יצליחו.

כשבדרום K9xx♦ ובצפון X♦

זהו המצב בו בתבנית הראשונה זוכים ב-4 לקיחות בסדרה ובתבנית השנייה רק ב-3 לקיחות.

בתבנית הראשונה זה פשוט וברור. כל קלף של הדומם במערב זוכה בעקיפה, אם דרום לא מכסה עם ה-K♦. 
אם הוא מכסה עם ה-K♦, הכרוז זוכה עם ה-A♦ בדומם וכל הקלפים בדומם גבוהים. 

בתבנית השנייה משחקים את ה-Q♦ ממזרח לעקיפה. נניח שלא מכסים והיא זוכה בלקיחה. הכרוז ממשיך עם ה-J♦ שגם הוא זוכה בלקיחה. 
צפון זורק קלף בסדרה אחרת באמצעותו הוא מסמן העדפת סדרה (סדרה בה הוא רוצה ששותפו יחזור אליו אם יזכה בלקיחה). 

הקלפים שנותרו בסדרת ה-♦ מחולקים באופן הבא:

צפון: אין קלפים.

הכרוז במזרח:   T8♦

דרום:            K9♦

הדומם במערב: A4♦

אם הכרוז יעבור לידו בסדרה אחרת וישחק את ה-T♦, דרום יכסה ב-K♦.  הכרוז יזכה ב-A♦ אבל אז ה-9♦ בדרום יהיה הקלף הגבוה שנותר בסדרה והכרוז לא יוכל לזכות בלקיחה רביעית בסדרה. 

אם ישחק את ה-8♦, דרום יכסה ב-9♦. הכרוז יזכה ב-A♦ אבל אז ה-K♦ בדרום יהיה הקלף הגבוה שנותר בסדרה והכרוז לא יוכל לזכות בלקיחה רביעית בסדרה.  

כשבדרום חמישה קלפים ובצפון אין אף קלף בסדרה

למעשה זהו מצב כמעט זהה למצב שתואר בפסקה הקודמת "כשבדרום K9xx♦ ובצפון X♦". 
בתבנית הראשונה הגנה לא תוכל למנוע מהכרוז לזכות ב-4 לקיחות בסדרה. 
בתבנית השנייה הכרוז יוכל לזכות רק בשלוש לקיחות בסדרה.

כשה-K♦ הוא קלף יחיד בדרום

לדרום אין ברירה אלא לשחק את ה-K♦ בפעם הראשונה שהסדרה משוחקת.

בתבנית הראשונה הכרוז משחק מיד את ה-A♦ ואז ה-QJT גבוהים והכרוז זוכה ב-4 לקיחות בסדרה.

בתבנית השנייה זה יותר מורכב. הכרוז משחק את ה-Q♦ מידו דרום את ה-K♦ והכרוז זוכה ב-A♦ בדומם.
אם הכרוז ימשוך את ה-J♦ ואת ה-T♦, ה-9♦ של צפון יוגבה והכרוז יוגבל ל-3 לקיחות בסדרה.

לכאורה, הכרוז צריך לבצע עקיפה ל-8♦ שבידו. ה-8♦ יזכה בלקיחה וה-J♦ וה-T♦ ישלימו 4 לקיחות בסדרה. 

מדוע לכאורה? 
גם אם לדרום יש ארבעה קלפים בסדרה כולל ה-K♦ וה-9♦ הוא יכול לכסות את ה-Q♦ של הכרוז בסיבוב הראשון שהסדרה משוחקת עם ה-K♦. הכרוז יזכה ב-A♦ במערב. יוותרו הקלפים הבאים בסדרה:  

צפון: אין קלפים.

הכרוז במזרח:   JT8♦

דרום:            9xx♦

הדומם במערב: 432♦

ה-9♦ של דרום מוגן והכרוז יוגבל ל-3 לקיחות בסדרה. 

הכרוז צריך לנחש האם ה-K♦ שוחק מיד משום שהוא קלף בודד או משום שהוא אחד מ-4 קלפים. 
במקרה שהוא אחד מ-4 קלפים העקיפה ל-8♦ תיכשל והכרוז יזכה רק ב-3 לקיחות בסדרה. 

כרוז מתוחכם לא ישחק את ה-Q♦ לעקיפה אלא את ה-T♦.
אם משחקים את ה-T♦, ייתכן שלכרוז חסר גם ה-J♦. 
במקרה זה לא נכון לכסות עם ה-K♦. אם דרום מכסה, זהו קרוב לוודאי קלף יחיד בסדרה.

גם במצב זה יש יתרון לתבנית הראשונה על פני השנייה. בראשונה זהו משחק פשוט המבטיח בוודאות זכייה ב-4 לקיחות בסדרה.
בשנייה נדרש משחק מתוחכם יותר ואין וודאות של זכייה ב-4 לקיחות בסדרה.

הערת שוליים

יש הבדל בין הסתברויות סטטיסטיות תאורטיות לבין הסתברות מעשית במשחק ברידג'. 
ההסתברות המעשית קצת יותר נמוכה.

באופן תאורטי המקרה בו החלוקה היא 4-1 וה-K♦ הוא הקלף היחיד בצפון, כלומר: לא יושב בעקיפה, יש אפשרות לשחק אל ה-A♦ בדומם בלקיחה הראשונה ולהפיל אותו.
באופן מעשי כל שחקן שיודע מה זו עקיפה יבצע עקיפה וה-K♦ שהוא קלף יחיד יזכה בלקיחה.

חידה על עקיפה

בפוסט הקודם צעדים ראשונים במשחק היד: עקיפה, כתבתי על תבנית נוספת לעקיפה: "תבנית זו שונה מעט מהתבנית הבסיסית או הדפוס הבסיסי שציינתי. באחד הפוסטים הבאים אתייחס אליה קצת יותר לעומק."

אתם משחקים בחוזה של 3NT מצד מזרח. יש לכם הרבה כניסות ליד של הכרוז ויש לכם שמונה קלפים ב-♦ כשרק ה-K♦ חסר לכם מבין הקלפים מ-T♦ ומעלה.

האם יהיה מצב בו יש הבדל במספר הלקיחות בין שתי התבניות שציינתי כאשר ה-K♦ בדרום? 
אם כן מה המצב הזה?

תבנית 1

הכרוז במזרח:  8432♦

הדומם במערב: AQJT♦

תבנית 2  

הכרוז במזרח: QJT8♦

הדומם במערב: A432♦

צעדים ראשונים במשחק היד: עקיפה

עקיפה היא טכניקת משחק שבאמצעותה מנסים להשיג לקיחה נוספת. העקיפה מתבססת על החזקת לפחות שני קלפים גבוהים כשליריב יש קלף הגבוה יותר מאחד מהם.
למשל אתם הכרוז במזרח המשחק בחוזה ללא שליט. היריבים לא התערבו במהלך המכרז. בתכנון המשחק אתם מגלים שחסרה לכם לקיחה אחת לביצוע החוזה. יש לכם AQ♣ בדומם. אחד המגנים מחזיק ב-K♣. אתם לא יודעים מי מהם מחזיק בו. 
ה-A♣ הוא לקיחה בטוחה. אם תזכו גם ב-Q♣ תבצעו את החוזה. 

אם תזכו מיד ב-A♣, ההסתברות שה-K♣ הוא קלף יחיד נמוכה. היא תלויה במספר הקלפים בסדרה זו בידכם ובדומם. ככל שהמספר הזה קטן יותר ההסתברות ל-K♣ כקלף יחיד אצל אחד היריבים נמוכה יותר.

להגדיל את ההסתברות ל-50%

באמצעות הטכניקה של עקיפה אתם יכולים להגדיל את ההסתברות לזכייה ב-Q♣ ל-50%.

ב-50% מהמקרים ה-K♣ יהיה בצפון וב-50% מהמקרים הוא יהיה בדרום.
אתם משחקים ♣ קטן מידכם לכיוון הדומם במערב.  
אם ה-K♣ בדרום ודרום משחק אותו, כמובן שתשחקו את 
ה-A♣ ותזכו גם ב-Q♣ באחת הלקיחות הבאות. 

בכל מקרה אחר תשחקו מהדומם את ה-Q♣ ולא את ה-A♣. 

ב-50% מהמקרים ה-K♣ יהיה בדרום וה-Q♣ תזכה בלקיחה. 
ב-50% מהמקרים ה-K♣ יהיה בצפון וה-K♣ יזכה בלקיחה. 

הדפוס הבסיסי של עקיפה

ביד אחת של הכרוז או של הדומם יש לפחות שני קלפים: אחד גבוה מהקלף הגבוה ביותר של המגנים. השני נמוך רק מהקלף הגבוה ביותר של המגנים.

קלפים אלו יכולים להיות A ו-Q כשה-K אצל אחד היריבים. 
קלפים אלו יכולים להיות K ו-J אחרי שמשכו את ה-A וה-Q אצל אחד היריבים. 
קלפים אלו יכולים להיות Q ו-T אחרי שה-K כוסה על ידי ה-A. במקרה זה ה-J אצל אחד היריבים.

יהיו מקרים שהקלפים הם ה-J וה-9 כאשר ה-K כוסה על ידי ה-A ונמשכה גם ה-Q.
אפילו מקרים של T ו-8 כשחסר ה-9 וה-K כוסה על ידי ה-A וה-J כוסה על ידי ה-Q.

העיקרון הבסיסי

בעקיפה לא משחקים קלף קטן אל הקלף הגבוה ביותר בסדרה במצב נתון, אלא קלף קטן אל הקלף השלישי הכי גבוה שנותר כשחסר הקלף השני הכי גבוה.

כמובן כשברשותכם גם הקלף הגבוה ביותר, גם הקלף השלישי הגבוה ביותר וגם הקלף הרביעי הגדול ביותר אפשר לשחק גם את הרביעי הגבוה ביותר, למשל בדומם יש AQJ וה-K אצל היריבים אפשר לשחק קלף קטן ל-J.

תבנית נוספת של עקיפה

אם בדומם במערב יש לכם A432♦ וביד במזרח QJT9♦ אפשר לשחק מהיד את ה-Q♦. אם לא כיסו עם ה-K♦, שחקו את ה-2♦.
גם זו עקיפה: ב-50% מהמקרים ה-K♦ יהיה בדרום והעקיפה תצליח. ב-50% מהמקרים הוא יהיה בצפון ויזכה בלקיחה.

תבנית זו שונה מעט מהתבנית הבסיסית או הדפוס הבסיסי שציינתי. באחד הפוסטים הבאים אתייחס אליה קצת יותר לעומק.

הערה מתודולוגית

ההסתברויות שציינתי נכונות כאשר אף לא אחד מהיריבים התערב במכרז. התערבות עשויה לשנות את ההסתברויות ולהגדיל את ההסתברות שדווקא מגן מסוים מחזיק בקלף אותו מנסים לעקוף. זהו נושא מתקדם ומורכב יותר שלא אדון בו בסדרת פוסטים זו.

פתרון חידת ההגנה: מדוע שיחק מערב את ה-2?

בפוסט הקודם חידת הגנה: מדוע שיחק מערב את ה-2? הצגתי יד  מתחרות. בפוסט זה אציג את הפיתרון.  
לנוחיות הקוראים אציג בקצרה את החידה.

ידו של מזרח:
A965♠ 
Q76♥
QT6♦
QT8♣     

מערב הוא שחקן ברמה גבוהה, כך שאל תניחו שהוא טעה. 

מהלך ההכרזה

לאחר שלוש הכרזות Pass פתח דרום ב-♣1.  מערב עבר (Pass). צפון הכריז ♥1. מזרח עבר ודרום הכריז ♠1. מערב עבר וצפון הכריז 1NT. זה היה החוזה הסופי.

הלקיחה הראשונה

לאחר ההובלה התגלה הדומם הבא בדרום: 

   KQT3♠ 
       A♥
    973♦ 
AK943♣

מהדומם שוחק ה-3♦. מערב שיחק את ה-2♦. הכרוז שיחק את ה-4♦. ה-6♦ זכה בלקיחה !!!!

פיתרון החידה

נתחיל בשאלה השנייה: מדוע שיחק מערב את ה-2♦? 
התשובה לשאלה הזו אינה מנותקת מהעובדה שה-6♦ זכה בלקיחה.

האם מערב סימן שאינו מעוניין בהמשך בסדרה בה הוביל שותפו? 

מערב לא סימן באופן ישיר האם הוא מעוניין בהמשך בסדרה או לא. מסמנים רק כאשר השותף מוביל בפעם הראשונה שמשחקים סדרה ומובילים בקלף גבוה. ה-6♦ אינו קלף גבוה. 

האם יכול להיות שהכרוז מחזיק גם ב-A♦ וגם ב-K♦?

לא סביר. היות שבדומם יש שלושה קלפים בסדרה לא הגיוני לעכב פעם אחת כשמחזיקים גם A וגם K וגם את ה-4. 
עיכוב נועד למניעת מעברים בין ידי המגנים. כשיש שלושה קלפים כולל ה-A וה-K אפשר לזכות בפעם הראשונה בקלף גבוה. לנסות לפתח סדרה ארוכה למשל: ♣. אם צריך לעכב, אפשר לעכב בפעם השנייה.

מסקנה: מערב מחזיק ב-A♦ או ב-K♦. 
אגב, פחות סביר, אבל ייתכן, שהוא מחזיק בשניהם והכרוז בחר משום מה להכריז 1NT ללא עוצר ב-♦.

בהנחה שה-A♦ או ה-K♦ אצל מערב היכן נמצא ה-J♦?
ה-J♦ נמצא במערב. לא הגיוני שהכרוז בדרום לא היה זוכה ב-J♦  כאשר יש לו לפחות שלושה קלפים שאחד מהם הוא ה-A♦ או ה-K♦  שה-A♦ יושב לפניו.

המסקנה היא שלמערב יש לפחות שלושה קלפים ב-♦ ששניים מהם הם ה-A♦ או ה-K♦ והשני הוא ה-J♦.
שימו לב שייתכן שיש לו ארבעה או אפילו חמישה קלפים ב-♦. 

במצב כזה יש לנו תשובה לשאלה הראשונה: איזה קלף עליו לשחק? 
התשובה עליו לשחק את ה-Q♦ ולקוות שלשותפו ארבעה קלפים בסדרה. די סביר בהתחשב בעובדה ש-♦ היא הסדרה היחידה, שהיריבים לא הכריזו. 
אם הכרוז יעכב שוב, עליו לשחק את ה-T♦. 

מדוע שיחק מערב את ה-2♦?

מערב הניח ששותפו הוביל בקלף רביעי מלמעלה והוא שיחק על פי חוק ה-11. 
חוק ה-11 הוא כלל המאפשר לשותפו של המוביל בקלף רביעי מלמעלה לחשב את מספר הקלפים הגבוהים מקלף ההובלה בשלוש הידיים שאינן של המוביל. 


השותף יודע מה הוא מחזיק בידו ורואה את הדומם. זה מאפשר לו לחשב כמה קלפים כאלה, אם בכלל יש ביד הכרוז.
הפחתת ערכו של הקלף מ-11 נותנת את מספר הקלפים הגבוהים ביתר שלוש הידיים.

במקרה הזה הוביל מזרח ב-6. כלומר על פי הכלל יש חמישה קלפים גבוהים מהקלף הזה בשלוש ידיים.
בדומם הוא רואה את ה-7♦ ואת ה-9♦. כפי שאתם יודעים הוא מחזיק את ה-J♦. 
אגלה לכם סוד לא מפתיע שיש בידיו גם את ה-K♦. הוא מחזיק גם את ה-8♦.
סך הכל חמישה קלפים גבוהים יותר מה-6♦. לכאורה, לכרוז אין קלף גבוה יותר מה-6♦. 

מה שהוא לא הביא בחשבון זה שמזרח יצא בשלישי מלמעלה מתוך שלושה קלפים בסדרה היחידה שאותה לא הכריזו היריבים. 
הכרוז שהכריז 1NT, החזיק ב-A♦, כלומר: היה עוד קלף אחד יותר גבוה מה-6♦ ביד הכרוז.
היות שזה היה ה-A♦, זה לא ממש משנה. 

גם הכרוז הניח שההובלה היא ברביעי מלמעלה ולכן החליט לעכב את ה-A♦ פעמיים על מנת למנוע מעבר ב-♦ בין המגנים.  

היד המלאה

להלן היד המלאה:

בדיעבד ההובלה ב-6♦ התבררה כהובלה מוצלחת. מזרח לא קרא נכון את המצב ב-♦, המשיך בסדרה אחרת ואפשר לכרוז לבצע חמיקה (Duck) ב-♣ ולזכות ב-4 לקיחות בסדרה זו. הכוונה בחמיקה היא למשחק של קלף נמוך בסדרה זו משתי הידיים כשמהגנים זוכים בלקיחה. לאחר מכן זוכים ב-A♣ וב-K♣ ובעוד שתי לקיחות בסדרה.

ההובלה הטבעית היא דווקא ב-♠. דרום הוא זה שהכריז את הסדרה וצפון לא תמך. דרום יכול להיות עם 12 נקודות ועם ארבעה קלפים קטנים בסדרה או תמונה אחת ולאו דווקא עם KQT. 

ההובלה ב-5♠ מתבררת כהובלה לא מוצלחת. הכרוז זוכה ב-J♠  בידו. מבצע חמיקה ב-♣ וזוכה בתשע לקיחות:
ארבע לקיחות ב-♣, שלוש לקיחות ב-♠ ושני קלפי A אדומים.