פיתרון חידת העקיפה

בפוסט הקודם חידה על עקיפה הצגתי חידה. בפוסט זה אציג את פיתרון החידה. תכננתי לסמן גם את הפוסט הזה בצבע ירוק אבל במהלך הניתוח גיליתי שהפיתרון מורכב יותר ממה שחשבתי ולכן שיניתי את הסיווג.

עד שניתחתי את החידה חשבתי שסיכויי ההצלחה של עקיפה הם 50%. במהלך הניתוח גיליתי שהסיכויים נמוכים מ-50%. 
ההבדל הוא קטן כך שלצרכים מעשיים של שחקנים מהשורה אין הבדל מעשי. 

שחקנים ברמה גבוהה יותר צריכים להעדיף שימוש בטכניקה אחרת על פני עקיפה במקרה שהיא מבטיחה הצלחה בדיוק ב-50% מהמקרים.

תזכורת לחידה

מזרח-מערב הגיעו לחוזה של 3NT מצד מזרח עם התאמה של 8 קלפים ב-♦. הקלפים בסדרה זו מחולקים 4-4 בין יד הכרוז ויד הדומם. יש לנו מספיק כניסות ליד הכרוז במזרח בסדרות אחרות על מנת לבצע עקיפות.

ידוע שה-K♦ נמצא בדרום, כלומר: העקיפה מצליחה. 
השאלה היא האם יש הבדל במספר הלקיחות בין שתי התבניות הבאות?

תבנית 1

הכרוז במזרח:  8432♦

הדומם במערב: AQJT♦

תבנית 2  

הכרוז במזרח:  QJT8♦

הדומם במערב: A432♦

התשובה הנכונה

קוראים שאמרו שאין הבדל בין שתי התבניות טעו.

ראשית, לא בכל המקרים שבהם ה-K♦ נמצא בדרום זוכים ב-4 לקיחות בסדרה.

שנית, תבנית 1 עדיפה על תבנית 2 משום שיש מקרה בו בתבנית 1 זוכים בארבע לקיחות בעוד בתבנית 2 זוכים רק ב-3 לקיחות.

כמובן שלו לא היו לנו מספיק כניסות ליד הכרוז דווקא תבנית 2 הייתה עדיפה על תבנית 1.

קצת סטטיסטיקה לפני הפיתרון

אם תקראו את הערך הסתברויות בברידג', שכתבתי בויקיפדיה העברית, תגלו שכשלמגנים יש 5 קלפים בסדרה הם מתחלקים ביניהם באופן הבא:

3-2 בהסתברות של 68%
4-1 בהסתברות של 28%
5-0 בהסתברות של 4%.

בחלוקה השכיחה יותר של 3-2 הכרוז זוכה תמיד ב-4 לקיחות. אין הבדל בין שתי התבניות.   

בהקשר של השאלה בחידה כמעט ואין הבדל בין חלוקה של 4-1 לחלוקה של 5-0. 
חלוקה של 5-0 עשויה להביא לקיחה נוספת להגנה, אם תהיה כניסה לידו של השחקן המחזיק ב-5 קלפים בסדרה.

בפסקה הבאה אעסוק בפיתרון החידה. הפיתרון יתייחס רק למקרים בהם החלוקה של קלפי המגנים בסדרת ה-♦ היא 4-1.

פיתרון

בפיתרון אחפש מקרים בהם באחת התבניות או בשתיהן זוכה הכרוז רק ב-3 לקיחות בסדרה או עשוי לזכות ב-3 לקיחות בסדרה.

כשבדרום Kxxx♦ ובצפון 9♦

במצב כזה בשתי התבניות זוכים בארבע לקיחות.
אחרי שה-9♦ משוחק בפעם הראשונה מצפון בתבנית השנייה כל הקלפים ביד הכרוז הם גבוהים מכל קלפי ההגנה למעט ה-K♦. כל העקיפות יצליחו.

כשבדרום K9xx♦ ובצפון X♦

זהו המצב בו בתבנית הראשונה זוכים ב-4 לקיחות בסדרה ובתבנית השנייה רק ב-3 לקיחות.

בתבנית הראשונה זה פשוט וברור. כל קלף של הדומם במערב זוכה בעקיפה, אם דרום לא מכסה עם ה-K♦. 
אם הוא מכסה עם ה-K♦, הכרוז זוכה עם ה-A♦ בדומם וכל הקלפים בדומם גבוהים. 

בתבנית השנייה משחקים את ה-Q♦ ממזרח לעקיפה. נניח שלא מכסים והיא זוכה בלקיחה. הכרוז ממשיך עם ה-J♦ שגם הוא זוכה בלקיחה. 
צפון זורק קלף בסדרה אחרת באמצעותו הוא מסמן העדפת סדרה (סדרה בה הוא רוצה ששותפו יחזור אליו אם יזכה בלקיחה). 

הקלפים שנותרו בסדרת ה-♦ מחולקים באופן הבא:

צפון: אין קלפים.

הכרוז במזרח:   T8♦

דרום:            K9♦

הדומם במערב: A4♦

אם הכרוז יעבור לידו בסדרה אחרת וישחק את ה-T♦, דרום יכסה ב-K♦.  הכרוז יזכה ב-A♦ אבל אז ה-9♦ בדרום יהיה הקלף הגבוה שנותר בסדרה והכרוז לא יוכל לזכות בלקיחה רביעית בסדרה. 

אם ישחק את ה-8♦, דרום יכסה ב-9♦. הכרוז יזכה ב-A♦ אבל אז ה-K♦ בדרום יהיה הקלף הגבוה שנותר בסדרה והכרוז לא יוכל לזכות בלקיחה רביעית בסדרה.  

כשבדרום חמישה קלפים ובצפון אין אף קלף בסדרה

למעשה זהו מצב כמעט זהה למצב שתואר בפסקה הקודמת "כשבדרום K9xx♦ ובצפון X♦". 
בתבנית הראשונה הגנה לא תוכל למנוע מהכרוז לזכות ב-4 לקיחות בסדרה. 
בתבנית השנייה הכרוז יוכל לזכות רק בשלוש לקיחות בסדרה.

כשה-K♦ הוא קלף יחיד בדרום

לדרום אין ברירה אלא לשחק את ה-K♦ בפעם הראשונה שהסדרה משוחקת.

בתבנית הראשונה הכרוז משחק מיד את ה-A♦ ואז ה-QJT גבוהים והכרוז זוכה ב-4 לקיחות בסדרה.

בתבנית השנייה זה יותר מורכב. הכרוז משחק את ה-Q♦ מידו דרום את ה-K♦ והכרוז זוכה ב-A♦ בדומם.
אם הכרוז ימשוך את ה-J♦ ואת ה-T♦, ה-9♦ של צפון יוגבה והכרוז יוגבל ל-3 לקיחות בסדרה.

לכאורה, הכרוז צריך לבצע עקיפה ל-8♦ שבידו. ה-8♦ יזכה בלקיחה וה-J♦ וה-T♦ ישלימו 4 לקיחות בסדרה. 

מדוע לכאורה? 
גם אם לדרום יש ארבעה קלפים בסדרה כולל ה-K♦ וה-9♦ הוא יכול לכסות את ה-Q♦ של הכרוז בסיבוב הראשון שהסדרה משוחקת עם ה-K♦. הכרוז יזכה ב-A♦ במערב. יוותרו הקלפים הבאים בסדרה:  

צפון: אין קלפים.

הכרוז במזרח:   JT8♦

דרום:            9xx♦

הדומם במערב: 432♦

ה-9♦ של דרום מוגן והכרוז יוגבל ל-3 לקיחות בסדרה. 

הכרוז צריך לנחש האם ה-K♦ שוחק מיד משום שהוא קלף בודד או משום שהוא אחד מ-4 קלפים. 
במקרה שהוא אחד מ-4 קלפים העקיפה ל-8♦ תיכשל והכרוז יזכה רק ב-3 לקיחות בסדרה. 

כרוז מתוחכם לא ישחק את ה-Q♦ לעקיפה אלא את ה-T♦.
אם משחקים את ה-T♦, ייתכן שלכרוז חסר גם ה-J♦. 
במקרה זה לא נכון לכסות עם ה-K♦. אם דרום מכסה, זהו קרוב לוודאי קלף יחיד בסדרה.

גם במצב זה יש יתרון לתבנית הראשונה על פני השנייה. בראשונה זהו משחק פשוט המבטיח בוודאות זכייה ב-4 לקיחות בסדרה.
בשנייה נדרש משחק מתוחכם יותר ואין וודאות של זכייה ב-4 לקיחות בסדרה.

הערת שוליים

יש הבדל בין הסתברויות סטטיסטיות תאורטיות לבין הסתברות מעשית במשחק ברידג'. 
ההסתברות המעשית קצת יותר נמוכה.

באופן תאורטי המקרה בו החלוקה היא 4-1 וה-K♦ הוא הקלף היחיד בצפון, כלומר: לא יושב בעקיפה, יש אפשרות לשחק אל ה-A♦ בדומם בלקיחה הראשונה ולהפיל אותו.
באופן מעשי כל שחקן שיודע מה זו עקיפה יבצע עקיפה וה-K♦ שהוא קלף יחיד יזכה בלקיחה.